なぜ弧度法のπは180度と定義されるか。円周率との関係はあるか

1.円周率とは何か

円周率とはπで表され、円周/直径の値です。よって3.14…で表されるのは直径が1の時の円周の長さということになります。それとラジアンがいくつ円の中に含まれているかということも表します。直径で割っているので全体の1/2になりますが。

2.ラジアンとは何か

ラジアンとはθで表される。半径、円周の長さをrとした時に出る角度。または円周/半径の数。前者はだいたい57.2957…度です。ラジアンは0より大きく6.28以下です。1ラジアンはr/r=1という数が出ます。全体の円の角度は57.2957掛ける6.28より360の近似になります。

3.円周率とラジアンの関係

円周率つまりπは直径が1の時の円周の長さと説明しました。式で表すと円周をL、直径を2rとするとL/2rとなります。ラジアンつまりθはL/rなのでそれぞれの量的関係は単純に2π=θとなる。

ここで円周率とラジアンは似たような数だという事がわかります。

角度の関係は2π=θとなります。

上の式よりθに360度が入るのでπは必然的に180度になりますが、なぜでしょうか。

答えは57.2957(1ラジアンの角度)掛ける3.14(円周率)の値を計算すればわかると思います。答えは179.94789となり180の近似となります。よってπの値が180となります。なぜ180の近似となるのか、それは円周率が半円の中にいくつラジアンがあるか計算してくれているためです。

先程の量的関係の式より2掛ける180=360なので一致しますね。

よってL/rの値の少数は半円の中にいくつラジアンが入っているかを表します。なので掛ければ180になるわけです。

4.扇型の面積を求める公式などにθがあった場合何を代入すべきか

扇型の面積などを求める際に1/2掛けるr^2掛けるθの式を使うと思いますが、θに代入すべきはまんまの角度ではなく先程でた少数の方です。

5.なぜπは180度か

円の角度を最初に360と決めたせいだと思われます。ラジアンと円周率の積から見れば自然なことですが。最初に720としていたらπの値は360になっていたことでしょう。円周率は変わりませんが。ですが360は表せる最小値であることは確かです。